Các hệ thức lượng trong tam giác Vuông & một số bài tập mẫu

Các hệ thức lượng trong tam giác Vuông & một số bài tập mẫu: Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:
Các hệ thức lượng trong tam giác Vuông

1/ Hệ thức về cạnh và đường cao tam giác vuông
Khi giải các bài toán…

Các hệ thức lượng trong tam giác Vuông & một số bài tập mẫu: Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Các hệ thức lượng trong tam giác Vuông

1/ Hệ thức về cạnh và đường cao tam giác vuông

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có

1) a2=b2+c2{{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}a2=b2+c2.

2) b2=a.b′;c2=a.c′{{b}^{2}}=a.b’;{{c}^{2}}=a.c’b2=a.b′;c2=a.c′

3) h2=b′.c′{{h}^{2}}=b’.c’h2=b′.c′

4) a.h=b.ca.h=b.ca.h=b.c.

5) 1h2=1b2+1c2frac{1}{{{h}^{2}}}=frac{1}{{{b}^{2}}}+frac{1}{{{c}^{2}}}h21​=b21​+c21​.

6) b′a=b2a2frac{b’}{a}=frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}ab′​=a2b2​.

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S=12abS=frac{1}{2}abS=21​ab

2/ Tỉ số lượng giác của góc nhọn của tam giác vuông

1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn αalpha α (hình) được định nghĩa như sau:

sin⁡α=ABBC;cos⁡α=ACBC;tan⁡α=ABAC;cot⁡α=ACABsin alpha =frac{AB}{BC};cos alpha =frac{AC}{BC};tan alpha =frac{AB}{AC};cot alpha =frac{AC}{AB}sinα=BCAB​;cosα=BCAC​;tanα=ACAB​;cotα=ABAC​

+ Nếu αalpha α là một góc nhọn thì

0<sin⁡α<1;0<cos⁡α<1;0<sin alpha <1;0<cos alpha <1;0<sinα<1;0<cosα<1;

tan⁡α>0;cot⁡α>0tan alpha >0;cot alpha >0tanα>0;cotα>0

2. Với hai góc α,βalpha ,beta α,β mà α+β=900alpha +beta ={{90}^{0}}α+β=900,

ta có: sin⁡α=cos⁡β;cos⁡α=sin⁡β;tan⁡α=cot⁡β;cot⁡α=tan⁡βsin alpha =cos beta ;cos alpha =sin beta ;tan alpha =cot beta ;cot alpha =tan beta sinα=cosβ;cosα=sinβ;tanα=cotβ;cotα=tanβ.

Nếu hai góc nhọn αalpha α và βbeta β có sin⁡α=sin⁡βsin alpha =sin beta sinα=sinβ hoặc cos⁡α=cos⁡βcos alpha =cos beta cosα=cosβ thì α=βalpha =beta α=β.

3/ Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

A. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a)  Cạnh huyền nhân với sin⁡sin sin góc đối hay nhân với cos⁡incos incosin góc kề.

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan⁡tan tan của góc đối hay nhân với cot⁡cot cot của góc kề: b=a.sin B=a.cos C; c=a.sin C=a.cosB; b=c.tgB=c.cotgC; c=b.tgC=b.cotgC

B. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó.

I. Bài tập minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, đường cao AHAHAH. Biết AB:AC=3:4AB:AC=3:4AB:AC=3:4 và AB+AC=21cmAB+AC=21cmAB+AC=21cm.

a) Tính các cạnh của tam giác ABCABCABC.

b) Tính độ dài các đoạn AH,BH,CHAH,BH,CHAH,BH,CH..

Giải:

a). Theo giả thiết:  AB:AC=3:4AB:AC=3:4AB:AC=3:4,

suy ra AB3=AC4=AB+AC3+4=3frac{AB}{3}=frac{AC}{4}=frac{AB+AC}{3+4}=33AB​=4AC​=3+4AB+AC​=3. Do đó AB=3.3=9(cm); AC=3.4=12(cm).

Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, theo định lý Pythagore ta có:

(7,2)2=x(15−x)⇔x2−15x+51,84=0⇔x(x−5,4)=9,6(x−5,4)=0{{left( 7,2 right)}^{2}}=xleft( 15-x right)Leftrightarrow {{x}^{2}}-15x+51,84=0Leftrightarrow xleft( x-5,4 right)=9,6left( x-5,4 right)=0(7,2)2=x(15−x)⇔x2−15x+51,84=0⇔x(x−5,4)=9,6(x−5,4)=0

⇔(x−5,4)(x−9,6)=0⇔x=5,4Leftrightarrow left( x-5,4 right)left( x-9,6 right)=0Leftrightarrow x=5,4⇔(x−5,4)(x−9,6)=0⇔x=5,4 hoặc x=9,6x=9,6x=9,6 (loại). Vậy BH=5,4cmBH=5,4cmBH=5,4cm. Từ đó HC=BC−BH=9,6(cm)HC=BC-BH=9,6left( cm right)HC=BC−BH=9,6(cm).

Chú ý: Có thể tính BHBHBH như sau:

AB2=BH.BCA{{B}^{2}}=BH.BCAB2=BH.BC suy ra BH=AB2BC=9215=5,4(cm)BH=frac{A{{B}^{2}}}{BC}=frac{{{9}^{2}}}{15}=5,4left( cm right)BH=BCAB2​=1592​=5,4(cm).

Ví dụ 2: Cho  tam giác cân ABCABCABC có đáy BC=2aBC=2aBC=2a, cạnh bên bằng b(b>a)bleft( b>a right)b(b>a).

1. Tính diện tích tam giác ABCABCABC
2. Dựng BK⊥ACBKbot ACBK⊥AC. Tính tỷ số AKACfrac{AK}{AC}ACAK​..

Giải:

a). Gọi HHH là trung điểm của BCBCBC. Theo định lý Pitago ta có:

AH2=AC2−HC2=b2−a2A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}AH2=AC2−HC2=b2−a2

Suy ra SABC=12BC.AH=12ab2−a2{{S}_{ABC}}=frac{1}{2}BC.AH=frac{1}{2}asqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}SABC​=21​BC.AH=21​ab2−a2

⇒AH=b2−a2Rightarrow AH=sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}⇒AH=b2−a2

b). Ta có 12BC.AH=12BK.AC=SABCfrac{1}{2}BC.AH=frac{1}{2}BK.AC={{S}_{ABC}}21​BC.AH=21​BK.AC=SABC​

Suy ra BK=BC.AHAC=2abb2−a2BK=frac{BC.AH}{AC}=frac{2a}{b}sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}BK=ACBC.AH​=b2a​b2−a2

​. Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKBAKBAKB ta có: AK2=AB2−BK2=b2−4a2b2(b2−a2)=(b2−2a2)2b2A{{K}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{K}^{2}}={{b}^{2}}-frac{4{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}left( {{b}^{2}}-{{a}^{2}} right)=frac{{{left( {{b}^{2}}-2{{a}^{2}} right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}AK2=AB2−BK2=b2−b24a2​(b2−a2)=b2(b2−2a2)2​. Suy ra AK=∣b2−2a2∣bAK=frac{left| {{b}^{2}}-2{{a}^{2}} right|}{b}AK=b∣∣​b2−2a2∣∣​​ do đó AKAC=∣b2−2a2∣b2frac{AK}{AC}=frac{left| {{b}^{2}}-2{{a}^{2}} right|}{{{b}^{2}}}ACAK​=b2∣∣​b2−2a2∣∣​​.

Trên đây là tất cả những gì có trong Các hệ thức lượng trong tam giác Vuông & một số bài tập mẫu mà chúng tôi muốn chia sẻ với các bạn. Bạn ấn tượng với điều gì nhất trong số đó? Liệu chúng tôi có bỏ sót điều gì nữa không? Nếu bạn có ý kiến về Các hệ thức lượng trong tam giác Vuông & một số bài tập mẫu, hãy cho chúng tôi biết ở phần bình luận bên dưới. Hoặc nếu thấy bài viết này hay và bổ ích, xin đừng quên chia sẻ nó đến những người khác.

Bạn cần đưa danh sách của mình lên tngayvox.com? Hãy liên hệ ngay với chúng tôi để được hỗ trợ đăng bài viết!